German 14

Beschreibung und Analyse unscharfer Information: by o. Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. techn. Reinhard K. W. Viertl,

By o. Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. techn. Reinhard K. W. Viertl, Dipl.-Ing. Dr. techn. Dietmar Hareter (auth.)

Datenqualität, Genauigkeit bzw. Ungenauigkeit von Daten und anderen Informationen sind grundlegende Aspekte von Messungen und Beobachtungen, die quantitativ beschrieben werden müssen, um unrealistische Resultate von Analysen zu vermeiden. In vielen praktischen Anwendungen erscheint die Angabe reeller Zahlen als vorliegende Datenelemente fragwürdig. Die Verwendung von unscharfen Zahlen ermöglicht es, die Unschärfe in die Modellbildung miteinzubeziehen und erlaubt somit eine realistischere Beschreibung von Daten.

Das Buch ist für Leser geschrieben, die mit elementaren stochastischen Modellen und statistischen Verfahren vertraut sind.

Ziel ist es, Methoden der quantitativen Beschreibung unscharfer Beobachtungen stochastischer Größen vorzustellen und in die Grundlagen der statistischen examine solcher Daten einzuführen. Der praktische Umgang mit den vorgestellten Theorien und Methoden wird dem Leser anhand zahlreicher Übungsaufgaben nähergebracht.

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2). , die Wahrscheinlichkeit dieser Teilmenge gr¨ oßer als 1 sein k¨ onnte. ¨ Die Uberlegung zur Berechnung von P (A) ist folgende: Ist Cδ (π (x)) = [π δ (x), π δ (x)] , δ ∈ (0, 1], der δ-Schnitt der unscharfen Zahl π (x), so k¨ onnen die beiden δ-Niveaukurven π δ (·) und π δ (·) als Grenzen klassischer Dichten aufgefasst werden. 13) folgt f¨ ur alle δ ∈ (0, 1]: R π δ (x) d x ≤ 1 und R π δ (x) d x ≥ 1 . 39 Die Menge Sδ ist nicht leer. , insbesondere sind f¨ ur alle δ ∈ (0, 1] die untere δ-Niveaukurve π δ (·) und die obere δ-Niveaukurve π δ (·) klassisch integrierbar und die beiden Integrale Iδ = R π δ (x) dx bzw.

Einer Stelle y ∈ Rk wird durch den maximalen Zugeh¨ origkeitswert seiner Urbilder bestimmt. 27 Neben der M¨oglichkeit einer einfachen intuitiven Interpretation besitzt die Anwendung des Erweiterungsprinzips einen weiteren Vorteil: Im Falle einer reellen Beobachtung x ∈ Rn entspricht die Zugeh¨origkeitsfunktion ξy (·, . . , ·) genau der Indikatorfunktion If (x) (·, . . , ·) und somit dem reellwertigen Vektor f (x). h. y = f (x ) f¨ mit zugeh¨ origer charakterisierenden Funktion ξx (·). 2.

Iδ = R π δ (x) dx existieren. 13) folgen die Ungleichungen 0 < I δ ≤ 1 und 1 ≤ I δ < ∞. , π (·) ist keine klassische Wahrscheinlichkeitsdichte, so existiert f¨ ur dieses δ die Funktion 1 − Iδ f (x) = π δ (x) + (π δ (x) − π δ (x)) ∀x ∈ R. Iδ − Iδ ≥0 ≤1 Wegen π δ (x) ≤ π δ (x) + 1 − Iδ (π δ (x) − π δ (x)) = f (x) Iδ − Iδ und 1 − Iδ (π δ (x) − π δ (x)) Iδ − Iδ ≤ π δ (x) + (π δ (x) − π δ (x)) = π δ (x) f (x) = π δ (x) + sowie R 1 − Iδ (π δ (x) − π δ (x)) dx Iδ − Iδ R 1 − Iδ = Iδ + Iδ − Iδ = 1 Iδ − Iδ f (x) dx = π δ (x) + ist f (·) eine klassische Wahrscheinlichkeitsdichte und ein Element der Menge Sδ .

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